Turunan

Untuk lebih jelasnya, silahkan download di link berikut:
Artikel 1 or Artikel 2

Kenapa turunan e^x adalah e^x juga

Pertanyaan yang bagus, saya sendiri juga baru kepikiran kenapa begitu ya? Dalam buku-buku kalkulus hanya dikatakan $\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}$ tanpa ada penjelasannya.

Okey akan saya coba membuktikannya, pertama-tama akan saya buktikan dengan menggunakan definisi dari turunan/derivative. yaitu

$\underset{h\rightarrow0}{Lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Jadi kita peroleh

$\underset{h\rightarrow0}{Lim}\frac{e^{(x+h)}-e^{x}}{h}$

$\underset{h\rightarrow0}{Lim}\frac{e^{x}e^{h}-e^{x}}{h}$

$\underset{h\rightarrow0}{Lim}\frac{e^{x}(e^{h}-1)}{h}$

….

Saya mulai bingung nich, soalnya kalo diterusin hasilnya adalah nol. Mm..apa yang salah yach?? Gimana kalo kita ganti metode aja. Gamana kalo kita menggunakan definisi dari $e^x$ aja. Yaitu:

$e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\ldots$

diperoleh

${\displaystyle \frac{d}{dx}e^{x}=\frac{d}{dx}(1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\ldots})$

$=0+1+\frac{2x}{2!}+\frac{3x^{2}}{3!}+\frac{4x^{3}}{4!}+\ldots$

${\displaystyle =1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\ldots})$

$=e^{x}$

Oalah..tenyata cuman muter-muter , mbolak-mbalik aja to…

Bukti Turunan Pake Logaritma

Leonhard Euler

Berikut adalah rumus-rumus dasar turunan/ derivatif:

Kalau Tulisan Rumusnya Kurang Jelas Silahkan diCopy-Paste Aja

Bila y=f(x) , y’=f’(x), dan a adalah konstanta maka:

1.
2.
3.
4.

5.
6.	etc…

Lihat lanjutan post di bawah untuk mengetahui bukti-buktinya.
=========================================================================

Mengapa Turunan dari

adalah

?? (a konstanta)

Bukti ini sangat mudah. Langsung kita gunakan definisi dari derivatif.
(atau bisa kita gunakan cara seperti di post “bukti sifat-sifat turunan” yang dilakukan secara bertahap..)
.

TERBUKTI

Selanjutnya: Mengapa turunan dari

adalah

Kita bisa saja menguraikan penurunan rumus ini dari awal, seperti cara yang serupa seperti di atas. Namun, kita gunakan saja rumus sebelumnya, untuk membuktikan rumus ini., supaya kita tidak 2 kali kerja..

Di atas merupakah rumus yang sudah kita dapatkan sebelumnya. Substitusikan a=e.

Ingat bahwa ln e =1. Ingat bahwa: = , maka:

TERBUKTI

=========================================================================

Mengapa turunan dari

adalah

ln-kan kedua ruas.

turunkan kedua ruas. Ingat bahwa turunan dari ln x adalah 1/x.

TERBUKTI

=========================================================================

Mengapa turunan dari

adalah

?? (a konstanta)

ln-kan kedua ruas.

turunkan kedua ruas, maka hasilnya:

TERBUKTI

Selanjutnya: Mengapa turunan dari

adalah

Sesuai dengan rumus sebelumnya:

Jika a=e, maka:

TERBUKTI

=========================================================================

Mengapa turunan dari

adalah

Untuk membuktikan ini, kita bisa gunakan definisi awal dari derivatif.
.

Ingat bahwa:
==> Note: rumus di atas HARUS dapat diturunkan sendiri.
Dengan demikian, persamaan menjadi:

TERBUKTI

Mengapa turunan dari

adalah

Pembuktiannya menggunakan cara yang sama seperti di atas.

Ingat bahwa:
==> rumus di atas HARUS bisa diturunkan sendiri.
Dengan demikian, persamaan menjadi:

TERBUKTI

Note: Cara lain menurunkan turunan sin x dan cos x yaitu dengan melihat identitas eulernya (Lihat di sini):
*)
*)
Dengan menurunkan sisi ruas kanan dari , maka akan menghasilkan sisi kanan dari .

Mengapa turunan dari

adalah

Fungsi tangen dapat dibentuk ke dalam bentuk pembagian.

Kemudian, ingatlah sifat turunan berikut.

Dengan menggunakan sifat itu, maka pembuktian turunan f(x) akan segera terbukti.

TERBUKTI

Rumus-rumus di atas adalah rumus turunan yang siap pakai. Selanjutnya, akan dibahas pembuktian untuk rumus-rumus yang kurang begitu *terpakai*. Jika terpakai pun, kita dapat dengan mudah menurunkannya. Konsep menurunkannya sama seperti di atas, kecuali adanya beberapa yang mengharuskan substitusi trigonometri.. But, lagi-lagi, rumus di bawah jangan sengaja dihapal (kecuali kalau tidak sengaja terhapal).. ;P

Bukti: turunan dari

, dan

Bukti bisa menggunakan teorema sebelumnya yang berbunyi: .
Sama halnya seperti menggunakan dalil rantai…

Dengan aturan rantai, maka:

TERBUKTI

Bukti turunan dari fungsi arcsin x, arccos x, arctan x, etc

Tidak semua bukti akan diberikan di sini, karena prosesnya hampir sama. Dan, akan terlalu banyak jika semuanya dibahas dalam satu post di blog. So, it is your challenge to prove it by yourself…

Bukti turunan dari fungsi arcsin x

y= arc sin x

sin y = x

Turunkan kedua ruas, maka hasilnya:

cos y.dy = dx