HardCode

Tampilkan postingan dengan label mathematic. Tampilkan semua postingan

Matematika dan Bilangan Prima 0

Agung Dwi Prasetyo | 18.51.00 | mathematic

Bilangan prima adalah dasar dari matematika, termasuk salah satu misteri alam semesta. Tidak pernah terbayangkan oleh manusia sebelumnya, sampai ditemukan bahwa bilangan prima juga merupakan dasar dari kehidupan alam, yang dengan usaha keras ingin dijelaskan oleh ilmu ini dalam sains. Pandangan orang umumnya mengatakan bahwa matematika hanyalah penemuan manusia biasa. Sebaliknya, beberapa pemikir masa lalu - Pythagoras, Plato, Cusanus, Kepler, Leibnitz, Newton, Euler, Gauss, termasuk para revolusioner abad ke-20, Planck, Einstein dan Sommerffeld-yakin bahwa keberadaan angka dan bentuk geometris merupakan konsep alam semesta dan konsep yang bebas (independent). Galileo sendiri beranggapan bahwa matematika adalah bahasa Tuhan ketika menulis alam semesta.1

Bilangan Prima dan Rencana Penciptaan

Salah satu teka-teki lama yang belum sepenuhnya terpecahkan adalah bilangan prima. Bilangan prima adalah bilangan yang hanya dapat habis dibagi oleh bilangan itu sendiri dan angka 1. Angka 12 bukan merupakan bilangan prima, karena dapat habis dibagi oleh angka lainnya 2, 3, dan 4. Bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, .... dan seterusnya. Banyak bilangan prima tidak terhingga. Tidak peduli berapa banyak kita menghitung, pasti kita akan menemukan bilangan prima, walaupun mungkin makin jarang_ Hal ini menjadi teka-teki kita, jika kita ingat bilangan ini tidak dapat dibagi oleh angka lainnya. Salah satu hal yang menakjubkan, dalam era komputer kita memberikan kodetifikasi semua hal yang penting dan rahasia, di bank, asuransi, dan perhitungan-perhitungan peluru kendali, security system dengan enkripsi, dalam angka jutaan bilangan-bilangan yang tidak habis dibagi oleh angka lainnya. Ini diperlukan karena dengan penggunaan angka lain, kodetifikasi tadi dapat dengan mudah ditembus. Fenomena inilah yang ditemukan ilmuwan dari Duesseldorf (Dr. Plichta), sehubungan dengan penciptaan alam, yaitu distribusi misterius bilangan prima.

Para ilmuwan sudah lama percaya bahwa bilangan prima adalah bahasa universal yang dapat dimengerti oleh semua makhluk (spesies) berintelegensia tinggi, sebagai komunikasi dasar antarmereka. Bahasa ini penuh misteri karena berhubungan dengan perencanaan universal kosmos.2

Bilangan lain yang perlu diketahui adalah sisa dari bilangan prima, yakni bilangan komposit, kecuali angka 1, yaitu 4, 6, 8, 9,10,12,14,15, .... dan seterusnya. Dengan kata lain, bilangan komposit adalah bilangan yang terdiri dari minimal dua faktor prima.

Misalnya :

6 = 2 x 3 = 2 . 3

30 = 2 x 3 x 5 = 2 . 3 . 5

85 = 5 x 17 = 5 . 17

Selain itu, dikenal pula bilangan khusus, yang disebut prima kembar, yaitu bilangan prima yang angkanya berdekatan dengan selisih 2. Misalnya :

(3,5), lalu (5,7), lalu (11,13), lalu (17,19), lalu (29,37), dan seterusnya.

TABEL 3.1

BILANGAN PRIMA SAMPAI DENGAN INDEKS KE-120

12	3	5	7	11	13	17	19	23	29
31	37	41	43	47	53	59	61	67	71
73	79	83	89	97	101	103	107	109	113
127	131	137	139	149	151	157	163	167	173
179	181	191	193	197	199	211	223	227	229
233	239	241	251	257	263	269	271	277	281
283	293	307	311	313	317	331	337	347	349
353	359	367	373	379	383	389	397	401	409
419	421	431	433	439	443	449	457	461	463
467	479	487	491	499	503	509	521	523	541
547	557	563	569	571	577	587	593	599	601
607	613	617	619	631	641	643	647	653	659

Catatan : Angka-angka yang dicerak lebal; angka yang muncul dalam struktur al-Qur'an.

Mayoritas ahli astrofisika juga percaya bahwa di alam semesta terdapat "kode kosmos" atau yang disebut cosmic code based on this order, yang dikenal juga sebagai Theory of Everything (TOE), yang artinya terdapat konstanta-konstanta alam semesta yang saling berhubungan berdasarkan perintah pendesain. Sekali perintah tersebut dapat dipecahkan, maka hal ini akan membuka pandangan sains lainnya yang berhubungan.

Mayoritas ahli astrofisika juga percaya bahwa di alam semesta terdapat "kode kosmos" atau yang disebut cosmic code based on this order, yang dikenal juga sebagai Theory of Everything (TOE), yang artinya terdapat konstanta-konstanta alam semesta yang saling berhubungan berdasarkan perintah pendesain. Sekali perintah tersebut dapat dipecahkan, maka hal ini akan membuka pandangan sains lainnya yang berhubungan.

Bilangan Prima 19

Salah satu angka yang dipandang misterius atau unik adalah angka 19. Meskipun Pythagoras, Euler dan Gauss telah lama memikirkannya, tetapi struktur komplek ini tetap juga belum diketahui jawabannya.

TABEL 3.2

STRUKTUR BILANGAN PRIMA 19 DG KOMBINASI (10+9)

& INDEKS ANGKA 8

Bilangan biasa	Bilangan ganjil	Bilangan genap	Bilangan prima
1	1	-	-
2	-	2	2
3	3	-	3
4	-	4	-
5	5	-	5
6	-	6	-
7	7	-	7
8	-	8	-
9	9	-	-
10	-	10	-
11	11	-	11
12	-	12	-
13	13	-	13
14	-	14	-
15	15	-	-
16	-	16	-
17	17	-	17
18	-	18	-
19	19	-	19
Keterangan	10 angka	9 angka	8 angka

Tabel di atas sengaja ditampilkan sebagi pengenalan awal, karena dalam al-Qur'an banyak digunakan struktur (10 + 9), atau kombinasi (11 + 8) dalam bilangan prima 19.

19 dan 81

Dr. Peter Plichta ahli kimia dan matematika dari Jerman3 berpendapat bahwa, tampaknya, semua formula matematika dan angka-angka berhubungan dengan dua kutub matematika alam semesta ini. Angka 81 spesifik karena melengkapi angka 19, (19 + 81= 100). Jumlah angka-angka tersebut adalah 19: 1 + 9+8+1=19.

Bila kita analisis sedikit lebih lanjut, terdapat hubungan angka-angka tersebut dengan cara:

1:19 = 0,0526315789473684210526

Angka yang berulang secara periodik, berulang dengan sendirinya tepat pada digit ke-19 sesudah koma, dan, yang menarikjumlah dari angka-angka tersebut ( 0 + 0 + 5 + 2 + 6 + 3 + 1 + 5 + 7 + 8 + 9 + 4 + 7 + 3 + 6 + 8 + 4 + 2 + 1 ) adalah 81 !

Sekarang:

1 : 81 = 0,012345679 ....

Ups! Angka 8 terlewat, padahal angka yang lain secara periodik muncul.

Hilangnya angka 8 adalah ilusi, dan nilai resiprokal angka 81 adalah "alamiah", menghasilkan satu seri sistem desimal bilangan 0,1, 2 .... dan seterusnya; dan sistem itu bukan buatan manusia. Tetapi mengapa angka 8, bukan angka lainnya, yang "hilang"? Diduga, karena angka 8 berhubungan dengan angka 19. Bilangan prima ke-8 adalah 19.

Dalam budaya Cina kuno, angka 8 melambangkan yat kwa, delapan penjuru angin, jalan menuju ke harmoni - keseimbangan kehidupan dengan alam sekelilingnya. Dalam al-Qur'an, angka 8 merupakan jumlah malaikat, force, yang menjunjung 'Arsy (Kursi, Singgasana), mengatur keseimbangan 'Arsy, yang bermakna power and authority dominion, baik sebelum maupun saat Kiamat (al-Haqqah 69 : 17). Sebagian mufasir, seperti Muhammad Abdul Halim, menerjemahkan 'Arsy dengan "Majelis Langit"4 atau "Wilayah Pemerintahan Kosmos". Wilayahnya tidak terbatas, "di bawah 'Arsy terdapat (unsur) air" (Hud 11 : 7). Berlimpah unsur hidrogen, elemen kimia yang paling ringan dari unsur air, H2O. Jauh lebih luas dari alam semesta yang diketahui.

Komunikasi Interstelar

Baik penulis fiksi ilmiah, misalnya Dr. Carl Sagan dalam bukunya Contact, maupun para pemikir sains, seperti Galileo, Euclid, telah lama berpendapat bahwa bilangan prima adalah bilangan universal yang diyakini merupakan bahasa alam semesta, bilangan yang ada hubungannya dengan desain kosmos, dan dalam operasionalnya banyak dipakai manusia untuk security system - kodetifikasi - enkripsi. Termasuk kemungkinan untuk komunikasi interstellar, antargalaksi, dan komunikasi dengan ETI, Extra-Terrestrial Intelligent.5

Pesan berkode dari Frank Drake, penemu kriptogram, dikirimkan kepada para ilmuwan dalam upaya mengatasi kesulitan menemukan arti sinyal artificial extraterrestrial (datang dari luar angkasa, tidak dikenal). Pesan tersebut terdiri dari 1271 garis (1271 adalah bilangan prima) angka 1 dan nol (atau bit). Kunci kode dikenali karena 1271 adalah hasil kali dua bilangan prima 31 dan 41, sehingga informasi dapat diperlihatkan dengan 41 garis dengan 31 bit tiap garis atau 31 garis dengan 41 bit tiap garis. Kemungkinan pertama tidak berarti, tetapi kemungkinan kedua mempunyai gambaran yang lebih berarti. Bernard Oliver salah satu penerima sinyal dari Frank Drake, sesama ilmuwan, dapat memecahkan kode tersebut. Di mana kemungkinan ini memberikan prospek komunikasi antara makhluk-makhluk di alam semesta dengan spesies yang sama, bahasa yang sama. Kriptogram Frank Drake dapat memecahkan kesulitan komunikasi antargalaksi dengan makhluk berinteligensia tinggi lainnya atau ETI, Extra-Terrestrial Intelligent.

Faktanya, para astronom dan ilmuwan matematika memang percaya bahwa bilangan biner dan bilangan prima adalah dasar dari komunikasi di alam semesta.

Usaha pertama untuk menghubungi makhluk angkasa luar (SETI) terdiri dari pesan yang diarahkan ke gugus bintang (alBuruj) M 13 tanggal 16 November 1974, melalui Arecibo radio teleseoye. Pesan Arecibo singkat, hanya 1679 bits informasi, dikenali karena merupakan hasil perkalian bilangan prima 23 dan 73. Disusun 73 baris di mana setiap baris terdiri dari 23 karakter biner, "1" dan "0". lnformasi memuat nomor atom elemen biologi yang membentuk senyawa DNA, lokasi bumi dalam tata surya, ukuran dan jumlah manusia di bumi, angka 1 sampai 10, dan deskripsi dari teleskop yang digunakan. Pesan ini ditransmisikan dari bumi ke galaksi lain dengan jarak 25 ribu tahun cahaya.6

1. Abdullah Arik, Beyond Probability - God's Message in Mathematics, Journal, Submission organisation, hal. 2.

2. Contohnya adalah Dr. Carl Sagan dan Frank Drake, yang menemukan cryptogram untuk komunikasi antar-bintang: pemecah kode komunikasi dari sinyal ETI, Extra Terrestrial Intelligent.

3. Baca lebih lanjut Peter Plichta, God's Secret Formula, atau situs-situs dari Dr. Peter Plichta.

4.Baca Muhammad Abdul Halim, Memahami Al-Qur'an, atau Maulana Muhammad Ali, The Religion of Islam. Di sisi sains, 'Arsy adalah wilayah hyperspace, dimensi lebih tinggi dari alam semesta kita yang dikenal. Isi alam semesta, 5% objek angkasa seperti bintang dan planet-planet, 25% dark matter, dan sisanya 70 % adalah dark energy. Elemen kimia, hidrogen, unsur air melimpah ruah (99,9% ), karena H adalah elemen paling ringan. Bintang baru mengubah hidrogen menjadi elemen kimia yang lebih berat, helium. Baca Encyclopedia Outerspace dari David Darling atau keterangan ahli kosmos Sir Martin Rees dan ahli Fisika Teori Dr. Michio Kaku: Our Cosmic' Habitat dan Paarallel Universes.

5.http://www.angelfire.com/on2/daviddarling/Drakecrypto.htm, diterima 23 Desember 2003. Dari 1000 bintang terdekat, telah disisir dengan program komputer belum ada tanda-tanda keberadaan ETI. Namun para ilmuwan tidak putus asa, karena jumlah bintang di luar angkasa jauh lebih banyak daripada jumlah butiran pasir di planet Bumi.

6. Ibid, http://www.angelfire.com/on2/daviddarling/AreciboM.htm, diterima 27 Desember 2003. Antena Arecibo ini diketahui sebagai antena terbesar yang dipasang di planet Bumi, berlokasi di Peru.

Microsoft Mathematics 4.0 0

Agung Dwi Prasetyo | 15.20.00 | mathematic , Multimedia , PC Software

Microsoft Mathematics 4.0 adalah sebuah software freeware dari Microsoft dimana mempunyai fungsi sebagai alat hitung tentunya. Tidak seperti kalkulator biasa, Microsoft Mathematics 4.0 ini sangat lengkap dan cocok untuk anak sekolah sampai pebisnis. Fiturnya cukup lengkap mulai dari Trigonometri, Integral, Turunan, Limit Fungsi, Eksponen, Logaritma, Matriks, dan masih banyak lagi. Jadi bagi yang kesulitan menghitung, mungkin Microsoft Math 4.0 ini patut anda coba. Pertamaxx dah pokoknya...

Screenshot :

Yang mau mencoba, silahkan download. Gratis ko. Hehehe.

Download | Microsoft Mathematics 4.0 (32 Bit) - (18 MB)
Mirror | Microsoft Mathematics 4.0 (32 Bit) - (18 MB)
Download | Microsoft Mathematics 4.0 (64 Bit) - (19 MB)

Nah, kalo link diatas tidak bekerja anda bisa pergi ke halaman microsoft langsung dibawah ini.

Download | Microsoft Mathematics 4.0 from Microsoft

System Requirment :

Processor 500 Mhz (Minimum), Processor 1Ghz (Recomended) or Higher
256 MB of RAM (Minimum), 512 MB (Recomended), or Higher
Display Resolution 800 x 600 (Minimum) or 1024 x 768 (Recomended)
All Windows Supported
Video Card 64 MB
Disk Space 65 MB
Net FrameWork 3.5 Service Pack 1

Untuk NetFrameWork, untuk Windows XP dan dibawahnya, NetFramework 3.5 SP1 wajib terinstall terlebih dahulu. Sedangkan untuk Vista atau 7, coba Install tanpa NetFrameWork 3.5 SP1, jika tidak bisa berarti juga membutuhkan. Hehe)

Download : NetFramework 3.5 SP1 Full (Offline Installer) - (232 MB)

Semoga Bermanfaat

^_^

Barisan dan Deret Aritmetika 1

Agung Dwi Prasetyo | 16.12.00 | mathematic

Barisan Aritmatika

(1) 3, 7, 11, 15, 19, …
(2) 30, 25, 20, 15, 10,…

Perhatikan bahwa selisih di antara suku-sukunya selalu tetap. Barisan yang demikian itu disebut barisan aritmetika. Selisih itu disebut beda suku atau beda saja dan dilambangkan dengan c.
Barisan (l) mempunyai beda, b = 4. Barisan ini disebut barisan aritmetika naik karena nilai suku-sukunya makin besar.
Barisan (2) mempunyai beda, b = -5. Barisan ini disebut barisan aritmetika turun karena nilai suku-sukunya makin kecil.
Suatu barisan U₁, U₂, U₃,….disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku yang berurutan adalah tetap. Nilai Untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika. perhatikan kembali contoh barisan (l).
3, 7, 11, 15, 19, …
Misalkan U1, U2, U3 , …. adalah barisan aritmetika tersebut maka
U₁ = 3 =+ 4 (0)

U₂ = 7 = 3 + 4 = 3 + 4 (1)
U₃= 11 = 3 + 4 + 4 = 3 + 4 (2)
….
U_n = 3 + 4(n-1)

Secara umum, jika suku pertama (U₁) = a dan beda suku yang berurutan adalah b maka dari rumus Un = 3 + 4(n – 1) diperoleh 3 adalah a dan 4 adalah b. Oleh sebab itu, suku ke-n dapat dirumuskan

U_n = a + b(n-1)

Barisan aritmetika yang mempunyai beda positif disebut barisan aritmetika naik, sedangkan jika bedanya negatif disebut barisan aritmetika turun.

U₁, U₂, U₃, …….U_n-1, U_n disebut barisan aritmatika, jika
U₂ – U₁ = U₃ – U₂ = …. = U_n – U_n-1 = konstanta

Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) → Fungsi linier dalam n

Deret Aritmatika

Seperti telah dibahas sebelumnya, deret adalah bentuk penjumlahan dari suku-suku pada sebuah barisan. Jika U₁, U₂, U₃, … barisan aritmetika. U_1, U₂, U₃, … adalah deret aritmetika.
Untuk mendapatkan jumlah n suku pertama dari deret aritmetika, perhatikan kembali deret yang dihasilkan barisan (l ).
3 +7 + 1l + 15 + 19 + …
Jika jumlah n suku pertama dinotasikan dengan.S_nmaka S dari deret di atas adalah :

Perhatikan jumlah 5 suku pertama, S yang diperoleh. Angka 3 pada perhitungan tersebut berasal dari suku pertama, sedangkan l9 adalah suku ke-5. Oleh karena itu, jumlah suku ke-n adalah

Jika nilai Un tidak diketahui, kita gunakan rumus Un, barisan aritmetika, yaitu Un = a + (n-1)b, sehingga jumlah n suku pertama adalah

jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmetika yang suku pertamanya a dan beda b adalah

Untuk memudahkan perhitungan Sn suatu deret aritmetika, perhatikan hal-hal berikut. a. Jika diketahui suku pertama a dan beda b, gunakan rumus b. Jika diketahui suku pertama dan suku ke-n,gunakan rumus

Turunan 0

Agung Dwi Prasetyo | 15.58.00 | mathematic

Untuk lebih jelasnya, silahkan download di link berikut:
Artikel 1 or Artikel 2

Kenapa turunan e^x adalah e^x juga

Pertanyaan yang bagus, saya sendiri juga baru kepikiran kenapa begitu ya? Dalam buku-buku kalkulus hanya dikatakan $\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}$ tanpa ada penjelasannya.

Okey akan saya coba membuktikannya, pertama-tama akan saya buktikan dengan menggunakan definisi dari turunan/derivative. yaitu

$\underset{h\rightarrow0}{Lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Jadi kita peroleh

$\underset{h\rightarrow0}{Lim}\frac{e^{(x+h)}-e^{x}}{h}$

$\underset{h\rightarrow0}{Lim}\frac{e^{x}e^{h}-e^{x}}{h}$

$\underset{h\rightarrow0}{Lim}\frac{e^{x}(e^{h}-1)}{h}$

….

Saya mulai bingung nich, soalnya kalo diterusin hasilnya adalah nol. Mm..apa yang salah yach?? Gimana kalo kita ganti metode aja. Gamana kalo kita menggunakan definisi dari $e^x$ aja. Yaitu:

$e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\ldots$

diperoleh

${\displaystyle \frac{d}{dx}e^{x}=\frac{d}{dx}(1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\ldots})$

$=0+1+\frac{2x}{2!}+\frac{3x^{2}}{3!}+\frac{4x^{3}}{4!}+\ldots$

${\displaystyle =1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\ldots})$

$=e^{x}$

Oalah..tenyata cuman muter-muter , mbolak-mbalik aja to…

Bukti Turunan Pake Logaritma

Leonhard Euler

Berikut adalah rumus-rumus dasar turunan/ derivatif:

Kalau Tulisan Rumusnya Kurang Jelas Silahkan diCopy-Paste Aja

Bila y=f(x) , y’=f’(x), dan a adalah konstanta maka:

1.
2.
3.
4.

5.
6.	etc…

Lihat lanjutan post di bawah untuk mengetahui bukti-buktinya.
=========================================================================

Mengapa Turunan dari

adalah

?? (a konstanta)

Bukti ini sangat mudah. Langsung kita gunakan definisi dari derivatif.
(atau bisa kita gunakan cara seperti di post “bukti sifat-sifat turunan” yang dilakukan secara bertahap..)
.

TERBUKTI

Selanjutnya: Mengapa turunan dari

adalah

Kita bisa saja menguraikan penurunan rumus ini dari awal, seperti cara yang serupa seperti di atas. Namun, kita gunakan saja rumus sebelumnya, untuk membuktikan rumus ini., supaya kita tidak 2 kali kerja..

Di atas merupakah rumus yang sudah kita dapatkan sebelumnya. Substitusikan a=e.

Ingat bahwa ln e =1. Ingat bahwa: = , maka:

TERBUKTI

=========================================================================

Mengapa turunan dari

adalah

ln-kan kedua ruas.

turunkan kedua ruas. Ingat bahwa turunan dari ln x adalah 1/x.

TERBUKTI

=========================================================================

Mengapa turunan dari

adalah

?? (a konstanta)

ln-kan kedua ruas.

turunkan kedua ruas, maka hasilnya:

TERBUKTI

Selanjutnya: Mengapa turunan dari

adalah

Sesuai dengan rumus sebelumnya:

Jika a=e, maka:

TERBUKTI

=========================================================================

Mengapa turunan dari

adalah

Untuk membuktikan ini, kita bisa gunakan definisi awal dari derivatif.
.

Ingat bahwa:
==> Note: rumus di atas HARUS dapat diturunkan sendiri.
Dengan demikian, persamaan menjadi:

TERBUKTI

Mengapa turunan dari

adalah

Pembuktiannya menggunakan cara yang sama seperti di atas.

Ingat bahwa:
==> rumus di atas HARUS bisa diturunkan sendiri.
Dengan demikian, persamaan menjadi:

TERBUKTI

Note: Cara lain menurunkan turunan sin x dan cos x yaitu dengan melihat identitas eulernya (Lihat di sini):
*)
*)
Dengan menurunkan sisi ruas kanan dari , maka akan menghasilkan sisi kanan dari .

Mengapa turunan dari

adalah

Fungsi tangen dapat dibentuk ke dalam bentuk pembagian.

Kemudian, ingatlah sifat turunan berikut.

Dengan menggunakan sifat itu, maka pembuktian turunan f(x) akan segera terbukti.

TERBUKTI

Rumus-rumus di atas adalah rumus turunan yang siap pakai. Selanjutnya, akan dibahas pembuktian untuk rumus-rumus yang kurang begitu *terpakai*. Jika terpakai pun, kita dapat dengan mudah menurunkannya. Konsep menurunkannya sama seperti di atas, kecuali adanya beberapa yang mengharuskan substitusi trigonometri.. But, lagi-lagi, rumus di bawah jangan sengaja dihapal (kecuali kalau tidak sengaja terhapal).. ;P

Bukti: turunan dari

, dan

Bukti bisa menggunakan teorema sebelumnya yang berbunyi: .
Sama halnya seperti menggunakan dalil rantai…

Dengan aturan rantai, maka:

TERBUKTI

Bukti turunan dari fungsi arcsin x, arccos x, arctan x, etc

Tidak semua bukti akan diberikan di sini, karena prosesnya hampir sama. Dan, akan terlalu banyak jika semuanya dibahas dalam satu post di blog. So, it is your challenge to prove it by yourself…

Bukti turunan dari fungsi arcsin x

y= arc sin x

sin y = x

Turunkan kedua ruas, maka hasilnya:

cos y.dy = dx